Abacus

Aus Theoria Romana
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Abacus.jpg
Bronzener Handabacus (Rekonstruktion)
Der Abacus kann bis zu Größenordnung von
1 Million verwendet werden und verfügt rechts
über zwei Spalten zur Bruchrechnung.

Als Abacus wird im allgemeinen ein Brett oder eine Platte bezeichnet, auf der Steine bewegt werden, beispielsweise als Spielbrett oder Würfeltisch. Vom Begriff als Platte leitete sich auch die Verwendung des Begriffs des Abacus in der Architektur her. Im besonderen bezeichnet der Begriff Abacus jedoch ein Rechenbrett, die antike Form des heutigen Taschenrechners.

Ursprünglich war die einfachste in der Antike verfügbare Rechenhilfe der Sand auf dem Boden (oder auf eine Platte gestreuter Sand), in den Rillen gezogen wurden, in die Steinchen gelegt werden konnten. Von der Verwendung von Steinchen (lat. Calculus) zu diesem Zweck leitet sich die Aufgabenbezeichnung Calculator für einen Rechenmeister oder -lehrer und damit auch der moderne Begriff "kalkulieren" ab. Mit dem römischen Zahlensystem konnte auf diese Weise genauso umgegangen werden wie mit unserem heutigen Dezimalsystem. Die einzelnen Ziffernzeichen einer römischen Zahl dienten dabei unmittelbar als Rechenanweisung für den Umgang mit dem Abacus bzw. die Platzierung der Steinchen in den Rillen. Ein I bedeutete "ein Stein in der Einer-Rille". II, III oder IIII stand für entsprechend mehr Steine und die Zahl des Auftretens von X, C usw. gab die Zahl der Steine in diesen zugehörigen Rillen an. Die Zusammenfassung vom Fünffachen bekam mit eigenen Symbolen (V, L) und einer eigenen Rille im Sand eine Sonderstellung, änderte jedoch nichts an der grundsätzlichen Rechenweise.

Rechnen mit dem Abacus[Bearbeiten]

Die Addition (Summand + Summand = Summe)[Bearbeiten]

Abacus addition.gif
Additionsbeispiel:
4 + 7 = 11

Die Addition ist die einfachste Rechenoperation mit dem Abacus. Entsprechend dem Additionssystem der römischen Zahlen brauchen nur die den Ziffernsymbolen entsprechenden zusätzlichen Steinchen in den Abacus geschoben zu werden. Die einzige Schwierigkeit sind dabei die möglicherweise entstehenden Überträge.

Um beispielsweise 4 und 7 zu addieren, schiebt man zunächst alle Steinchen des ersten Summanden (4, also IIII) in den Abacus. Dann arbeitet man die Symbole des zweiten Summanden (7, also VII) in grundsätzlich beliebiger Reihenfolge ab. In diesem Beispiel bietet es sich an, zunächst die V zu verarbeiten und den zugehörigen Stein zu bewegen. Damit sind alle Steine der 1er-Spalte des Abacus zur Mitte verschoben. Die nächste I des restlichen zweiten Summanden führt damit zum Übertrag in die 10er-Spalte. Die letzte I kann dann wieder durch das Bewegen eines einzelnen Steines in der 1er-Spalte verarbeitet werden.


Die Subtraktion (Minuend - Subtrahend = Differenz)[Bearbeiten]

Abacus subtraktion.gif
Subtraktionsbeispiel:
43 - 26 = 17

Bei der Subtraktion wird die Vorgehensweise bei der Addition genau umgekehrt. Von den Steinchen, die zu Beginn der Operation den Minuend angeben, werden genau jene weggenommen, die den Subtrahend bilden. Wie bei der Addition können dabei Überträge auftreten, nur diesmal in die andere Richtung.

Um beispielsweise 26 von 43 zu subtrahieren, schiebt man zunächst alle Steinchen des Minuend (43, also XXXXIII) in den Abacus. Dann arbeitet man die Symbole des Subtrahenten (26, also XXVI) in grundsätzlich beliebiger Reihenfolge ab. In diesem Beispiel bietet es sich an, zunächst die XX zu verarbeiten und zwei Steinchen der 10er-Spalte zu entfernen. Da in der 1er-Spalte der obere Stein nicht genutzt ist, kann die V nicht sofort verarbeitet werden, sondern es kommt zu einem Übertrag. Ein Steinchen der 10er-Spalte wird entfernt (also "minus 10" gerechnet) und dafür der oberste Stein der 1er-Spalte eingesetzt (also "plus 5"), was im Ergebnis genau der gewünschten Subtraktion entspricht. Die verbleibende I kann schließlich problemlos durch entfernen eines Steinchens in der 1er-Spalte verarbeitet werden.

Die Multiplikation (Faktor * Faktor = Produkt)[Bearbeiten]

Abacus multiplikation.gif
Multiplikationsbeispiel:
57 * 16 = 912

Die Multiplikation mit dem Abacus erfolgt ähnlich wie unser heutiges schriftliches Multiplizieren durch Zerlegung der Faktoren, schrittweises Ausmultiplizieren der einzelnen Teile und anschließendes Aufsummieren der Teilergebnisse. Dabei erspart der Abacus es dem Nutzer, die Teilergebnisse schriftlich festhalten zu müssen, da diese im Abacus sofort zusammenaddiert werden können. Außerdem muss der Nutzer nicht das gesamte kleine Einmaleins können, sondern lediglich die Multiplikation mit 5 und 10 bzw. deren 10fachen, 100fachen usw. beherrschen. Weitere einfache Multiplikationen, beispielsweise die Verdopplung, im Kopf zu beherrschen, ist jedoch von Vorteil.

Um beispielsweise 57 (LVII) mit 16 (XVI) zu multiplizieren, zerlegt man diese Operation zunächst in eine geeignete Folge von Teilschritten. Im Extremfall zerlegt man dabei beide Faktor komplett in einzelne Zahlzeichen, hier ist es jedoch nicht notwendig, die II des ersten Faktors weiter in zweimal I aufzuteilen. Damit ergibt sich: L mal X, L mal V, L mal I, V mal X, V mal V, V mal I, II mal X, II mal V und II mal I. Diese Teilschritte kann man einzeln im Kopf ausrechnen und fortlaufend addieren. Es ergibt sich: D plus CCL plus L plus L plus XXV plus V plus XX plus X plus II, was in der Summe im Abacus sofort DCCCCXII (= 912) ergibt.

Für gängige Multiplikationen standen Händlern und Handwerkern Multiplikationstabellen zur Verfügung, in denen Ergebnisse nachgeschaut werden konnten, so dass der Abacus nicht immer zum Einsatz kam.

Die Division (Dividend / Divisor = Quotient)[Bearbeiten]

Abacus division.gif
Divisionsbeispiel:
2376 / 18 = 132

Die Division ist diejenige der vier Grundrechenarten, für auf dem Abacus am schwierigsten durchzuführen ist. Sie setzt - ähnlich wie heute die schriftliche Division - gutes Kopfrechnen bzw. die Möglichkeit für Nebenrechnungen voraus. Damit wird die Division in eine Folge von Subtraktionen zerlegt, die solange durchgeführt werden, bis kein Rest mehr übrig bleibt bzw. keine weitere Subtraktion mehr möglich ist.

Um beispielsweise 2376 (MMCCCLXXVI) durch 18 (XVIII) zu teilen, sind folgende Schritte nötig: man rechnet 18 mal 100, zieht dieses von 2376 ab und merkt oder notiert sich dafür ein C für die 100. Es bleiben 576 (DLXXXVI). Man rechnet 18 mal 30, zieht dieses von 576 ab und merkt oder notiert sich dafür XXX für die 30. Es bleiben 36 (XXXVI). Man rechnet 18 mal 2, zieht diese von 36 ab und merkt sich dafür II für die 2. Es bleibt kein Rest und die Division geht mit dem Ergebnis CXXXII auf.